वक्ता: डॉ. दिग्जॉय पॉल

वार्ता का शीर्षक : $q,t$-कैटलन बहुपदों की खोज: नए सांख्यिकी और द्वंद्व

तिथि, समय और स्थान: 12 मार्च 2025, दोपहर 12:00 बजे - दोपहर 1:00 बजे सेमिनार हॉल, गणित विभाग।

सारांश: कॉम्बिनेटरिक्स और गणित की विभिन्न अन्य शाखाओं में, गिनती कार्यों के $q $-एनालॉग्स का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है। उदाहरण के लिए, $n का $q$-एनालॉग न केवल सममित समूह $S_n$ में क्रमपरिवर्तन की उलटा संख्या के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन से मेल खाता है, बल्कि एक $n!$-आयामी कॉइनवेरिएंट स्पेस की हिल्बर्ट श्रृंखला के रूप में भी कार्य करता है।
कैटलन संख्या कई दहनशील वस्तुओं की गणना करती है, जिसमें डाइक पथ और विमान के पेड़ शामिल हैं। 2003 में, हैग्लुंड और हैमन ने डाइक पथों के लिए भारित जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में कैटलन संख्याओं का $q,t$-एनालॉग पेश किया। ये $q,t$-कैटलन बहुपद विकर्ण कॉइनवेरिएंट रिंग में कुछ $S_n$-मॉड्यूल की हिल्बर्ट श्रृंखला के रूप में भी उत्पन्न होते हैं, जिसका आयाम $n $ वें कैटलन नंबर से मेल खाता है। इस क्षेत्र में एक बड़ी खुली समस्या $q$ और $t$ में इन बहुपदों की समरूपता का एक संयुक्त प्रमाण पा रही है।

इस बात में, हम ऐनी शिलिंग और जोसेफ पप्पे के साथ हाल के संयुक्त कार्य को प्रस्तुत करने से पहले इन अवधारणाओं के अवलोकन के साथ शुरू करते हैं। हम दो नए $q, टी $ कैटलन बहुपद पेश करते हैं, जो डाइक पथों पर उपन्यास आंकड़ों का उपयोग करके परिभाषित किए गए हैं, और विमान के पेड़ों पर एक नया द्वंद्व विकसित करके उनकी समरूपता साबित करते हैं। हम आगे के अनुप्रयोगों और $q,t$-कैटलन कॉम्बिनेटरिक्स में खुली समस्याओं के साथ निष्कर्ष निकालते हैं।

डॉ. दिग्जॉय पॉल आईआईएससी, बैंगलोर में एनबीएचएम पोस्टडॉक्टोरल फेलो हैं। उन्होंने 2020 में आईएमएससी, चेन्नई से प्रोफेसर अमृतांशु प्रसाद के तहत गणित में पीएचडी प्राप्त की। उन्होंने टीआईएफआर मुंबई, सीएमआई और बाद में आईआईएससी में 2023 में सीवी रमन फेलो के रूप में पोस्टडॉक्टरल शोध किया। उनका शोध कार्य बीजगणितीय संयोजनों पर केंद्रित है, जो बीजगणितीय संरचनाओं और दहनशील वस्तुओं के बीच परस्पर क्रिया की खोज करता है।